Тригонометрические функции в жизни человека. Связь тригонометрической функции и медицины. Тригонометрия в медицине и биологии

Тригонометрия в астрономии:

Потребность в решении треугольников раньше всего обнаружилась в астрономии; поэтому, в течение долгого времени тригонометрия развивалась и изучалась как один из разделов астрономии.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1—2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах — секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты — широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. — ок. 120 до н. э.)

Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х — значение изменяющейся величины, t — время, А — амплитуда колебаний, ω — циклическая частота колебаний, — полная фаза колебаний, r — начальная фаза колебаний.

Механические колебания . Механическими колебаниями

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос

Одно из фундаментальных свойств
- это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.
Основной земной ритм - суточный.

Тригонометрия в биологии

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

Интерпретация

Мы привели лишь малую часть того, где можно встретить тригонометрические функции.. Мы выяснили

Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, медицине. Можно приводить бесконечно много примеров периодических процессов живой и неживой природы. Все периодические процессы можно описать с помощью тригонометрических функций и изобразить на графиках

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
Доказали
Думаем

Просмотр содержимого документа
«Данилова Т.В.-сценарий»

МКОУ «Ненецкая общеобразовательная средняя школа – интернат им. А.П.Пырерки»

Учебный проект

" "

Данилова Татьяна Владимировна

Учитель математики

Обоснование актуальности проекта.

Тригонометрия - это раздел математики, изучающий тригонометрические функции. Сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Вы могли не подозревать об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Слово тригонометрия впервые появляется в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.
Тригонометрия – слово греческое, и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigonan – треугольник, metreo - измеряю).
Возникновение тригонометрии было тесно связано с землемерием, астрономией и строительным делом.…

Школьник в 14-15 лет не всегда знает, куда пойдет учиться и где будет работать.
Для некоторых профессий ее знание необходимо, т.к. позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии, используются и в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Определение предмета исследования

3. Цели проекта.

Проблемный вопрос
1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни?
2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине?
3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?

Гипотеза

Проверка гипотезы

Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) –

История тригонометрии:

Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co -sinus .

В XVII – XIX вв. тригонометрия становится одной из глав математического анализа.

Она находит большое применение в механике, физике и технике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов.

Жан Фурье доказал, что всякое периодическое движение может быть представлено (с любой степенью точности) в виде суммы простых гармонических колебаний.

в систему математического анализа.

Где применяется тригонометрия

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех сферах жизнедеятельности людей. Следует отметить применение в таких областях как: астрономия, физика, природа, биология, музыка, медицина и многие другие.

Тригонометрия в астрономии:

Достижения Виета в тригонометрии
Полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
Решение сферических треугольников- одна из задач астрономии Вычислять стороны и углы любого сферического треугольника по трем подходящим образом заданным сторонам или углам позволяют следующие теоремы: (теорема синусов) (теорема косинусов для углов) (теорема косинусов для сторон).

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Где х - значение изменяющейся величины, t - время, А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота колебаний, - полная фаза колебаний, r - начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Механические колебания . Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?» . Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное сияние?», «Что такое оптические иллюзии?» ,«Как тригонометрия может помочь найти ответы на эти вопросы?».

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Северное сияние Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

Биологические ритмы, биоритмы

Основной земной ритм – суточный.

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией

Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций. Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения.

Возникновение музыкальной гармонии

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

диатоническая гамма 2:3:5

Тригонометрия в архитектуре

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Интерпретация

Мы привели лишь малую часть того, где можно встретить тригонометрические функции.. Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы,

в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Доказали , что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

Думаем , что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

7. Литература.

Программа Maple6, реализующий изображение графиков

«Википедия»

Учеба.ru

Math.ru «библиотека»

Просмотр содержимого презентации
«Данилова Т.В.»

" Тригонометрия в окружающем нас мире и жизни человека "

Цели исследования:

Связь тригонометрии с реальной жизнью.

Проблемный вопрос 1. Какие понятия тригонометрии чаще всего используются в реальной жизни? 2. Какую роль играет тригонометрия в астрономии, физике, биологии и медицине? 3. Как связаны архитектура, музыка и тригонометрия?

Гипотеза

Большинство физических явлений природы, физиологический процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций.

Что такое тригонометрия???

Тригонометрия (от греч. trigonon – треугольник, metro – метрия) – микрораздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций.

История тригонометрии

Истоки тригонометрии берут начало в древнем Египте, Вавилонии и долине Инда более 3000 лет назад.

Слово тригонометрия впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого математика Питискуса.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом и Птолемеем.

Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна.

По звездам вычисляли местонахождение корабля в море.

Следующий шаг в развитии тригонометрии был сделан индийцами в период с V по XII в.

В отличие от греков инд ийцы стали рассматривать и употреблять в вычислениях уже не целую хорду ММ  соответствующего центрального угла, а только ее половину МР, т. е. синуса  - половины центрального угла.

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так называемого « синуса дополнения » , т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90  . « Синус дополнения » или (по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

Наряду с синусом индийцы ввели в тригонометрию косинус , точнее говоря, стали употреблять в своих вычислениях линию косинуса. Им были известны также соотношения cos  =sin(90  -  ) и sin 2  +cos 2  =r 2 , а также формулы для синуса суммы и разности двух углов.

В XVII – XIX вв. тригонометрия становится

одной из глав математического анализа.

Она находит большое применение в механике,

физике и технике, особенно при изучении

колебательных движений и других

периодических процессов.

О свойствах периодичности тригонометрических функций знал еще Виет, первые математические исследования которого относились к тригонометрии.

Доказал, что всякое периодическое

движение может быть

представлено (с любой степенью

точности) в виде суммы простых

гармонических колебаний.

Основоположник аналитической

теории

тригонометрических функций .

Леонард Эйлер

Во «Введении в анализ бесконечных» (1748 г)

трактует синус, косинус и т.д. не как

тригонометрические линии, обязательно

связанные с окружностью, а как

тригонометрические функции, которые он

рассматривал как отношения сторон

прямоугольного треугольника, как числовые

величины.

Исключил из своих формул

R – целый синус, принимая

R = 1, и упростил таким

образом записи и вычисления.

Разрабатывает учение

о тригонометрических функциях

любого аргумента.

В XIX веке продолжил

развитие теории

тригонометрических

функций.

Н.И.Лобачевский

« Геометрические рассмотрения,- пишет Лобачевский,- необходимы до тех пор в начале тригонометрии, покуда они не послужат к открытию отличительного свойства тригонометрических функций… Отсюда делается тригонометрия совершенно независимой от геометрии и имеет все достоинства анализа».

Стадии развития тригонометрии:

Тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов.

Первыми шагами тригонометрии было установление связей между величиной угла и отношением специально построенных отрезков прямых. Результат - возможность решать плоские треугольники.

Необходимость табулировать значения вводимых тригонометрических функций.

Тригонометрические функции превращались в самостоятельные объекты исследований.

В XVIII в. тригонометрические функции были включены

в систему математического анализа.

Где применяется тригонометрия

Тригонометрия в астрономии

Значительных высот достигла тригонометрия и у индийских средневековых астрономов.

Главным достижением индийских астрономов стала замена хорд

синусами, что позволило вводить различные функции, связанные

со сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии

как учению о тригонометрических величинах.

Составленные Гиппархом таблицы положений Солнца и Луны позволили предвычислять моменты наступления затмений (с ошибкой 1-2 ч). Гиппарх впервые стал использовать в астрономии методы сферической тригонометрии. Он повысил точность наблюдений, применив для наведения на светило крест нитей в угломерных инструментах - секстантах и квадрантах. Ученый составил огромный по тем временам каталог положений 850 звезд, разделив их по блеску на 6 степеней (звездных величин). Гиппарх ввел географические координаты - широту и долготу, и его можно считать основателем математической географии. (ок. 190 до н. э. - ок. 120 до н. э.)

Гиппарх

Тригонометрия в физике

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений, например:

Механические колебания

Гармонические колебания

Гармонические колебания

Гармоническое колебание - явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса. Например, гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

или

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Механические колебания

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Математический маятник

На рисунке изображены колебания маятника, он движется по кривой, называемой косинусом.

Траектория пули и проекции векторов на оси X и Y

Из рисунка видно, что проекции векторов на оси Х и У соответственно равны

υ x = υ o cos α

υ y = υ o sin α

Тригонометрия в природе

Оптические иллюзии

естественные

искусственные

смешанные

Теория радуги

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

sin α / sin β = n 1 / n 2

где n 1 =1, n 2 ≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Северное сияние

Проникновение в верхние слои атмосферы планет заряженных частиц солнечного ветра определяется взаимодействием магнитного поля планеты с солнечным ветром.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения.

К тому же в биологии используется такое понятие как синус сонный, синус каротидный и венозный или пещеристый синус.

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов.

Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов.

Основной земной ритм – суточный.

Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций.

Тригонометрия в биологии

Какие биологические процессы связаны с тригонометрией?

Тригонометрия играет важную роль в медицине. С ее помощью иранские ученые открыли формулу сердца - комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии.
Биологические ритмы, биоритмы связаны с тригонометрией.

Модель биоритмов можно построить с помощью графиков тригонометрических функций.

Для этого необходимо ввести дату рождения человека (день, месяц, год) и длительность прогноза.

Тригонометрия в биологии

При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

Возникновение музыкальной гармонии

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Частоты, соответствующие

одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

диатоническая гамма 2:3:5

У музыки есть своя геометрия

Тетраэдр из различных типов аккордов четырех звуков:

синий – малые интервалы;

более теплые тона - более «разряженные» звуки аккорда; красная сфера- наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.

cos 2 С + sin 2 С = 1

АС – расстояние от верха статуи до глаз человека,

АН – высота статуи,

sin С - синус угла падения взгляда.

Тригонометрия в архитектуре

Детская школа Гауди в Барселоне

Страховая корпорация Swiss Re в Лондоне

y = f (λ)cos θ

z = f (λ)sin θ

Феликс Кандела Ресторан в Лос-Манантиалесе

Выяснили , что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Доказали , что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, астрономии и медицине.

Думаем , что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Тригонометрия прошла длинный путь развития. И теперь, мы можем с уверенностью сказать, что тригонометрия не зависит от других наук, а другие науки зависят от тригонометрии.

Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»
Программа Maple6, реализующий изображение графиков
«Википедия»
Учеба.ru
Math.ru «библиотека»
История математики с Древнейших времен до начала XIX столетия в 3-х томах// под ред. А. П. Юшкевича. Москва, 1970г. – том 1-3 Э. Т. Бэлл Творцы математики.
Предшественники современной математики// под ред. С. Н. Ниро. Москва,1983г. А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров.
Рассказы о прикладной математике//Москва, 1979г. А. В. Волошинов. Математика и искусство// Москва, 1992г. Газета Математика. Приложение к газете от 1.09.98г.

Применение тригонометрии в физике и ее задачах

Практическое применение тригонометрических уравнений в реальной жизни

Существует множество областей, в которых применяются тригонометрия. Например, метод триангуляции используется в астрономии для измерения расстояния до ближайших звезд, в географии для измерения расстояний между объектами, а также в спутниковые навигационных системах. Синус и косинус имеют фундаментальное значение для теории периодических функций, например при описании звуковых и световых волн.

Тригонометрия используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов, когда требуется сферическая тригонометрия), в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятностей, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации (например, компьютерная томография и ультразвук), в аптеках, в химии, в теории чисел, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде x’’ + ω²x = 0.

Камень брошен на склоне горы под углом α к ее поверхности. Определите дальность полета камня, если начальная скорость камня равна v 0 , угол наклона горы к горизонту β. Сопротивление воздуха не учитывать.

Решение. Сложное движение камня по параболе нужно представить как результат наложения двух прямолинейных движений: одного вдоль поверхности Земли, другого - по нормали к ней.

Выберем прямоугольную систему координат с началом отсчета в точке бросания камня так, чтобы оси OX и OY совпали с указанными направлениями, и найдем составляющие векторов начальной скорости v 0 и ускорения свободного падения g по осям. Проекции этих составляющих на оси OX и OY равны соответственно:
v 0 cosα v 0 ; -g sinβ -g cosβ

После этого сложное движение можно рассматривать как два более простых: равнозамедленное движение вдоль поверхности Земли с ускорением g sinβ и равнопеременное движение, перпендикулярное склону горы, с ускорением g cosβ .

Составляем уравнения движения для каждого направления с учетом того, что за время t всего движения перемещение камня по нормали к поверхности (по оси OY ) оказалось равным нулю, а вдоль поверхности (по оси OX ) - равным s:

По условию задачи v 0 ,α и β нам заданы, поэтому в составленных уравнениях имеется две неизвестные величины s и t1.

Из первого уравнения определяем время полета камня:

Подставляя это выражение во второе уравнение, находим:

S= v 0 cosα∙ =
=

Анализируя решение приведенной задачи, можно сделать вывод, что математика имеет аппарат и использование его при реализации меж предметной связи физики и математики ведет к осознанию единства мира и интеграции научных знаний.

Математика выступает как своеобразный язык, необходимый для кодирования содержательной физической информации.

Использование меж предметной связи физики и математики ведет к сравниванию этих двух наук и позволяет усиливать качественную теоретическую и практическую подготовку обучаемых.

исследование, начало которого напоминает маленькую волну, после чего наблюдается систолический подъем. Маленькая волна, как правило, показывает сокращение предсердия. С началом подъема совпадает начало изгнания крови в аорту. На этой же ленте можно увидеть еще одну максимально высокую вершину, которая сигнализирует о закрытии полулунных клапанов. Форма данного отрезка максимального подъема может быть достаточно многообразной, что приводит к различным результатам данного исследования. После максимального подъема следует спуск кривой, который продолжается до самого конца. Данный отрезок верхушечной кардиограммы сопровождается открытием митрального клапана. После этого – незначительный подъем волны. Он указывает на время быстрого наполнения. Весь остальной отрезок кривой обозначается как время пассивного наполнения желудочка. Такое исследование правого желудочка способна указать на возможные патологические отклонения.

Введение

Реальные процессы окружающего мира обычно связаны с большим количеством переменных и зависимостей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Понятие «функция» сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение функций является актуальным всегда.

Цель : выявить связь тригонометрических функций с явлениями окружающего мира и показать, что данные функции находит широкое применение в жизни.

задачи :

1. Изучить литературу и ресурсы удаленного доступа по теме проекта.

2. Выяснить, какие законы природы выражаются тригонометрическими функцией.

3. Найти примеры применения тригонометрических функций в окружающем мире.

4. Проанализировать и систематизировать имеющийся материал.

5. Подготовить оформленный материал в соответствии с требованиями информационного проекта.

6. Разработать в соответствии с содержанием проекта электронную презентацию.

7. Выступить на конференции с результатами проведённой работы.

На подготовительном этапе я нашел материал по данной теме и ознакомился с ним выдвинул гипотезы сформулировали цель своего проекта. Я начал поиск необходимой информации, изучал литературу по моей теме и материалы ресурсов удаленного доступа.

На основном этапе , была подобрана и накоплена информация по теме, проанализированы найденные материалы. Я выяснил основные области применения тригонометрических функций. Все данные были обобщены и систематизированы. Затем разработан целостный окончательный вариант информационного проекта, составлена презентация по теме исследования.

На заключительном этапе была проанализированапрезентация работы на конкурс. На этом этапе также предполагалась деятельность по реализации всех поставленных задач, подведение итогов, т. е. оценка своей деятельность.

Восход и заход солнца, изменение фаз луны, чередование времен года, биение сердца, циклы в жизнедеятельности организма, вращение колеса, морские приливы и отливы - модели этих многообразных процессов описываются тригонометрическими функциями.

Тригонометрия в физике.

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту или по струне.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис.1).

Рис.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебаниясовершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

На рисунке 2 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением:

x = m cos (ωt + f 0).

Рисунок 2- Графики координаты x(t), скорости υ(t)

и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.

Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом.

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростьюυ.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

Наверняка, каждый не раз наблюдал явление, когда опущенные в воду предметы сразу же меняли свои размеры и пропорции. Интересное явление, погружаешь в воду свою руку, и она сразу же превращается в руку какого-то другого человека. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос и подробное объяснение этого явления как всегда дает физика – наука, которая может объяснить практически все, что нас окружает в этом мире.

Итак, на самом деле, при погружении в воду предметы, конечно же, не меняют ни своих размеров, ни своих очертаний. Это просто оптический эффект, то есть мы зрительно воспринимаем этот объект по-другому. Происходит это из-за свойства светового луча. Оказывается, на скорость распространения света в огромной мере влияет, так называемая оптическая плотность среды. Чем плотнее эта оптическая среда, тем медленнее распространяется луч света.

Но и изменение скорости луча света еще не объясняет в полной мере рассматриваемого нами явления. Существует и еще один фактор. Так вот, когда световой луч проходит границу между менее плотной оптической средой, например воздухом, и более плотной оптической средой, например водой, часть светового луча не проникает внутрь новой среды, а отражается от ее поверхности. Другая же часть светового луча проникает внутрь, но, уже меняя направление.

Это явление называется преломлением света, и ученые уже давно могут не просто наблюдать, но и точно рассчитывать угол этого преломления. Оказалось, что простейшие тригонометрические формулы и знание синуса угла падения и угла преломления дают возможность узнать постоянный коэффициент преломления для перехода светового луча из одной конкретной среды в другую. Например, коэффициент преломления воздуха чрезвычайно мал и составляет 1,0002926, коэффициент преломления воды чуть больше - 1,332986, алмаз преломляет свет с коэффициентом 2,419, а кремний - 4,010.

Данное явление лежит в основе, так называемой Теории радуги. Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

Применение тригонометрии в искусстве и архитектуре.

С того времени как человек стал существовать на земле, основой улучшения быта и других сфер жизни стала наука. Основы всего, что создано человеком – это различные направления в естественных и математических науках. Одна из них – геометрия. Архитектура не единственная сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Рассмотрим пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдем точку зрения (рис.4).

На рисунке 5 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит проверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 a+ sin 2 a = 1.

Сравнив измерения АН в первом и во втором случаи можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий:Детская школа Гауди в Барселоне, Небоскрёб Мэри-Экс в Лондоне, Винодельня «Бодегас Исиос» в Испании,Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии.

Тригонометрия в биологии.

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Между движением небесных тел и живыми организмами на Земле существует связь. Живые организмы не только улавливают свет и тепло Солнца и Луны, но и обладают различными механизмами, точно определяющими положение Солнца, реагирующими на ритм приливов, фазы Луны и движение нашей планеты.

Биологические ритмы, биоритмы, - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Способность к таким изменениям жизнедеятельности передается по наследству и обнаружена практически у всех живых организмов. Их можно наблюдать в отдельных клетках, тканях и органах, целых организмах и популяциях. Биоритмы подразделяют на физиологические , имеющие периоды от долей секунды до нескольких минут и экологические, по длительности совпадающие с каким либо ритмом окружающей среды. К ним относят суточные, сезонные, годовые, приливные и лунные ритмы. Основной земной ритм – суточный, обусловлен вращением Земли вокруг своей оси, поэтому практически все процессы в живом организме обладают суточной периодичностью.

Множество экологических факторов на нашей планете, в первую очередь световой режим, температура, давление и влажность воздуха, атмосферное и электромагнитное поле, морские приливы и отливы, под влиянием этого вращения закономерно изменяются.

Мы на семьдесят пять процентов состоим из воды, и если в момент полнолуния воды мирового океана поднимаются на 19 метров над уровнем моря и начинается прилив, то вода, находящаяся в нашем организме так же устремляется в верхние отделы нашего тела. И у людей с повышенным давлением часто наблюдаются обострения болезни в эти периоды, а натуралисты, собирающие лекарственные травы, точно знают в какую фазу луны собирать «вершки – (плоды)», а в какую – «корешки».

Вы замечали, что в определенные периоды ваша жизнь делает необъяснимые скачки? Вдруг откуда не возьмись - бьют через край эмоции. Повышается чувствительность, которая внезапно может смениться полной апатией. Творческие и бесплодные дни, счастливые и несчастные моменты, резкие скачки настроения. Подмечено, что возможности человеческого организма меняются периодически. Эти знания лежат в основе «теории трех биоритмов».

Физический биоритм – регулирует физическую активность. В течение первой половины физического цикла человек энергичен, и достигает лучших результатов в своей деятельности (вторая половина – энергичность уступает лености).

Эмоциональный ритм – в периоды его активности повышается чувствительность, улучшается настроение. Человек становится возбудимым к различным внешним катаклизмам. Если у него хорошее настроение, он строит воздушные замки, мечтает влюбиться и влюбляется. При снижении эмоционального биоритма происходит упадок душевных сил, пропадает желание, радостное настроение.

Интеллектуальный биоритм - он распоряжается памятью, способностью к обучению, логическому мышлению. В фазе активности наблюдается подъем, а во второй фазе спад творческой активности, отсутствуют удача и успех.

Теория трех ритмов.

· Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения

· Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение

· Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности

Тригонометрия встречается и в природе. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду.

Тригонометрия в медицине.

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности на 14-й конференции географической медицины и затем - на 28-й конференции по вопросам применения компьютерной техники в кардиологии, состоявшейся в Нидерландах.

Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по происшествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

Заключение

В настоящее время тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Выводы:

· Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

· Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, биологией, встречается в природе, архитектуре и медицине.

· Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Литература

1. Алимов Ш.А.и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2010.

2. Виленкин Н.Я. Функции в природе и техники: Кн. для внеклас. чтения IX-XX кл. – 2-е изд., испр.-М: Просвещение, 1985.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. - М.: Просвещение, 1983.

4. Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике»

5. Рыбников К.А. История математики: Учебник. - М.: Изд-во МГУ, 1994.

6. Учеба.ru

7. Math.ru «библиотека»

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол . С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус , косинус , тангенс ,котангенс , секанс и косеканс . Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга . На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r=1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r:
sinα=y/r.
Поскольку r=1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r:
cosα=x/r

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x:
tanα=y/x,x≠0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y:
cotα=x/y,y≠0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x,y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.
Секанс угла α представляет собой отношение гипотенузы к прилежащему катету.
Косеканс угла α представляет собой отношение гипотенузы к противолежащему катету.

11. График функции синус
y=sinx, область определения: x∈R, область значений: −1≤sinx≤1

12. График функции косинус
y=cosx, область определения: x∈R, область значений: −1≤cosx≤1

13. График функции тангенс
y=tanx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений: −∞

14. График функции котангенс
y=cotx, область определения: x∈R,x≠kπ, область значений: −∞

15. График функции секанс
y=secx, область определения: x∈R,x≠(2k+1)π/2, область значений:secx∈(−∞,−1]∪∪}

Просмотр содержимого документа «Данилова Т.В.-сценарий»

Просмотр содержимого презентации «Данилова Т.В.»

Просмотр содержимого документа
«Данилова Т.В.-сценарий»

Просмотр содержимого презентации
«Данилова Т.В.»